English Persian

Documentation de KUK
(rédaction en cours)

Introduction : consonances, intervalles, justesse

Rappel historique

L'harmonie, les nombres et le cosmos

Depuis Pythagore (580-497 BC), la tentative de rationaliser, codifier, calculer ou mesurer les intervalles musicaux a été l'objet d'une recherche et d'une littérature abondantes.

Cette recherche a aussi été accompagnée de developpements parallèles entre la musique, l'astronomie et la cosmologie. On a cherché à rapprocher les structures observées dans les systèmes musicaux aux observations célestes. Dans l'antiquité, les Pythagoriciens, suivis par Platon veulent retrouver entre les différents degrés d'une gamme, la distance entre les planètes ou un peu plus tard leurs vitesses de rotation respectives. Bien qu'Aristote déjà était critique vis à vis de ce genre de rapprochement, cette tendance s'est poursuivie et développée jusqu'à la renaissance en Europe. En particulier, Képler (16e siècle) reprend cette idée en tentant de retrouver les degrés de la gamme dans les vitesses relatives des planètes.

Ces recherches, fruits de spéculations théoriques et quelques fois sans lien direct avec la pratique musicale courante, ont contribué néanmoins à créer des dizaines de systèmes de tempéraments. On a pu débattre (et ceci continue encore de nos jours) de telle ou telle fraction représentant un intervalle musical, en se basant sur des considérations numérologiques (en attribuant des propriétés psychologiques aux nombres), sans savoir si elles donnaient lieu à une différence de hauteur audible, sinon musicalement significative (Voir par exemple [Danielou, 1967]).

Pythagore et la découverte des consonances parfaites

Pythagore decouvrant les intervalles musicaux
Dans l'antiquité grecque, Pythagore fasciné par la découverte de la relation entre intervalles musicaux et les rapports de masses et de longueurs, essaya de construire tous les intervalles à partir de la quinte pure (ascendante ou descendante) et l'octave. L'octave correspondait au rapport 2/1 et la quinte au rapport 3/2. La quarte étant une quinte descendante suivie d'une octave correspond à l'intervalle 2/3 × 2 = 4/3. Ces intervalles consonants de base ne faisaient intervenir que des fractions aux numérateurs et dénominateurs petits, comme 1, 2, 3 et 4, autrement dit les nombres constituant le tetractys (voir Fig. 1).

Figure 1. Le Tetractys, un symbole ésotérique de l'École Pythagoricienne.

Cette découverte est le point de départ de l'harmonie des Pythagoriciens qui se fonde sur la théorie des proportions et des moyennes (en effet 3/2 et 4/3 sont respectivement les moyennes arithmétique et harmonique de 1 et 2). D'autre part, selon la philosophie Pythagoricienne, l'harmonie est l'accord des opposés, en l'occurrence du pai et de l'impair, d'où l'importance des rapports épimores (ou superpartiels) de la forme (n+1)/n, comme 2/1, 3/2 et 4/3. Actuellement ces rapports sont considérés comme des rapports de fréquences. À l'époque de Pythagore, ils représentaient probablement des rapports de longueurs sur le monocorde. Mais, pour les Pythagoriciens, ces rapports avaient des significations ésotériques.

Itération de quintes et la gamme diatonique

En itérant des quintes successives, Philolaos, élève de Pythagore, obtient une gamme heptatonique, déjà connue à cette époque.

Degrés de la gamme diatonique majeure, obtenus par itérations successives de quintes parfaites, de rapports 3/2. La seconde ligne représente les intervalles ramenés à l'intérieur d'une même octave.
En ordonnant les différentes fractions dans l'ordre croissant, on obtient la gamme majeur diatonique Pythagoricienne
NoteDo MiFaSolLaSi
Fraction19/881/644/33/227/16243/128
Cents0203.9407.8498.1702905.91109.8
Intervalle9/89/8256/2439/89/89/8256/243
Tableau 1. Les 7 degrés de la gamme diatonique obtenus par itération de quintes successives.
Cette échelle est mathématiquement très élégante, car elle fait deux types d'intervalles : le ton de rapport 9/8, et le demi-ton diatonique de rapport 256/243 (d'où l'appellation diatonique). On peut également noter que, par construction, toutes les quintes Do-Sol, Ré-La, etc sont des quintes pures (de rapport 3/2), sauf la quinte Si-Fa, qui est une quinte diminuée de rapport 1024/729 ou environ 588.27 cents.

Spirale des quintes et le comma

Cette succession de quintes ne peut pas génèrer l'octave, c'est à dire le rapport 2/1. En effet, pour une raison arithméque très simple de parité, une puissance (entière) de 3/2 ne peut jamais être égale à une puissance de 2. En poursuivant, cette itération jusqu'à 12 quintes, on obtient (3/2)^12 = 129.75 ≈ 128 = 2^7. Autrement dit, l'itération de 12 quintes est sensiblement équivalente à 7 octaves. La différence est le rapport 3^12/2^19, appelé le comma pythagoricien.
Comma Pyth. = 3^12/2^19 = 531441/524288 23.46 cents

Figure 2. Spirale de quintes ascendantes parfaites, de rapports 3/2 : 12 quintes dépasse légérement 7 octaves. L'intervalle Do8-Si#7 est le comma Pythagoricien.
Les degrés ainsi générés, ramenés à l'octave, correspondent à des rapports de la forme (3/2)^n/2^p = 3^n/2^(n+p).
NoteFa Do Sol La MiSi
Fraction4/3 1 3/2 9/8 27/16 81/64 243/128
NoteFa♯ Do♯ Sol♯ Ré♯ La♯ Mi♯Si♯
Fraction729/512 2187/2048 3^8/2^12 3^9/2^14 3^10/2^15 3^11/2^18 3^12/2^19
Tableau 2. Itération de 12 quintes ascendantes successives.

De la même facon, en itérant 12 quartes ascendantes, on obtient (4/3)^12 ≈ 31.57 ≈ 32 = 2^5. Autrement dit, l'itération de 12 quartes est sensiblement équivalente à 5 octaves. Cette fois 5 octave est supérieur à 12 quartes. La différence est le rapport 2^5/(4/3)^12 = 3^12/2^19, c'est à dire un comma Pythagoricien.
NoteSi Mi La Sol DoFa
Fraction243/128 81/64 27/16 9/8 3/2 1 4/3
NoteSi♭ Mi♭ La♭ Ré♭ Sol♭ Do♭Fa♭
Fraction16/9 32/27 128/81 256/243 2^10/3^6 2^12/3^7 2^13/3^8
Tableau 3. Itération de 12 quintes descendantes successives.

Comme nous l'avons remarqué, aucun des deux procédés, ne permet de refermer la spirale des quintes en un cycle. Il s'agit plutôt de spirales infinies. En se limitant à 12 quintes ascendantes et descendantes (c'est à dire des quartes), on obtient une échelle à 21 degrés, comportant les 7 degrés de la gamme diatonique et deux altérations différentes pour chaque degré : 7 + 7 × 2 = 21 degrés.


Figure 3. Échelle de Pythagore à 21 degré, en itérant des quintes à partir de Do. Nous avons limité les quintes ascendantes à Si♯ et les quintes descendantes (ou quarte) à Fa♭.
La présence de deux altérations différentes entre deux degrés distants d'un ton est une conséquence de la différence entre 12 quintes et 7 octaves. En effet, cette échelle comporte deux types de demi-tons :
Le demi-ton diatonique ou Limma
Le demi-ton que l'on retrouve dans la gamme diatonique, c'est à l'intervalle entre Mi et Fa ou Si et Do : 256/243 ou 90.22 cents. C'est également l'intervalle un degré et une altération de nom différent : comme Do-Ré♭ ou Do♯-Ré. Ce demi-ton, par exemple Mi-Fa, s'obtient par itération de 5 quintes : Fa-Do-Sol-Re-La-Mi. Donc l'intervalle Mi-Fa équivaut à 3 octaves moins 5 quintes (ou 5 quartes moins 2 octaves) :
1 Limma Pyth. = 2^7/3^5 = 256/243=3 oct. - 5 quintes 90.22 cents
Le demi-ton chromatique ou Apotome
Ce demi-ton est l'intervalle entre une note la note altérée de même nom, comme Do-Do♯ ou Ré♭-Ré. On l'obtient avec l'itération de 7 quintes. Par exemple pour Do-Do♯, les quintes successives sont : Do-Sol-Re-La-Mi-Si-Fa♯-Do♯. Donc Do-Do♯ équivaut à 7 quintes moins 4 octaves
1 Apotome = 3^7/2^11 = 2187/2048=7 quintes - 4 oct. 113.69 cents
La différence entre ces deux demi-tons est évidemment l'intervalle entre (7 quintes - 4 oct.) et (3 oct. - 5 quintes) qui équivaut à 12 quintes - 7 oct., ce qui n'est autre que le comma Pythagoricien.

Échelles Pythagoriciennnes à 12 et 17 sons

Le choix des altérations, par exemple entre Do♯ et Ré♭ dépend des transpositions souhaitées. Par exemple, pour jouer en Ré♭ majeur, c'est Do♯ qui va intervenir, alors que pour jouer en La♭ c'est Ré♭ qui va intervenir. En pratique, les tonalités usuelles ne font pas intervenir les notes Si♯, Fa♭, Mi♯ et Do♭. C'est pourquoi, on réduit souvent l'échelle ci-dessus à l'échelle suivante à 17 sons :
NoteDoRé♭ Do♯ Mi♭Ré♯Mi FaSol♭
Fraction1256/2432187/20489/832/2739/21481/644/3210/36
Cent090.2113.7203.9294.1317.6407.8491.8588.3
NoteFa♯SolLa♭Sol♯LaSi♭La♯ SiDo
Fraction36/293/2128/8138/21227/1616/9310/215243/128 2
Cent611.7702792.2815.6905.9996.11019.61109.81200
Tableau 4. Échelle de Pythagore à 17 degrés.

Cette échelle convient à jouer dans les 11 tonalités majeures : Do, Sol, Ré, La , Mi, Si, ainsi que Fa, Si♭, Mi♭, La♭ et Ré♭. Il existe d'autres échelles avec un nombre inférieur de degrés, chacun permettant un certain nombre de modulations ou transpositions. En particulier, l'échelle à 12 degrés avec le choix des altérations suivants
NoteDoDo♯ Mi♭Mi Fa
Fraction12187/20489/832/2781/644/3
NoteFa♯SolSol♯LaSi♭Si
Fraction729/5123/238/21227/1616/9243/128
Tableau 5. Échelle de Pythagore à 12 degrés.
Cette échelle obtenue en itérant les quintes successives Mi♭-Si♭-Fa-Do-Sol-Ré-La-Mi-Si-Fa♯-Do♯-Sol♯. Elle convient pour jouer dans les tonalités de Do, Sol, Ré, La, Fa et Si♭.

Quinte du loup

Il faut noter que dans toutes les échelles présentées plus haut, il y a une quinte et une quarte qui est fausse. Dans la figure 3, la spirale s'arête à Si♯ donc, toutes les quintes sont par construction justes, sauf la quinte Si♯-Sol qui vaut une quinte juste moins 1 comma. C'est la quinte du Loup. La quinte juste aurait été Si♯-Fa♯♯. De même la quarte complémentaire Sol-Si♯ est une quarte élargie égale à une quarte juste plus 1 comma. La présence d'une quinte trop courte est encore une conséquence de la différence entre 12 quintes et 7 octaves. Du fait d'assimiler 12 quintes à 7 octaves, on fausse une quinte (la dernière dans la spirale des quintes). Dans l'échelle à 12 degrés du tableau 5, la quinte du loup est la quinte Sol♯-Mi♭.

La quinte du loup n'est pas obligatoirement la dernière quinte. On peut écourter n'importe quelle quinte pour pouvoir fermer la spirale. Par exemple dans l'échelle réduite à 12 sons (voir Tableau 5) la quinte du loup est la quinte Sol♯-Mi♭ qui est une quinte juste ècourtée d'un comma (la quinte juste aurait été Sol♯-Re♯). Si on avait choisi Re♯ à la place de Mi♭, la quinte du loup serait l'intervalle Re♯-Si♭. Le choix de la quinte du loup se fait en fonction des transpositions ou modulations prévues. La quinte du loup est alors l'une des quintes les moins utilisées.

On peut remarquer dans l'échelle à 12 degrés du tableau 6, certaines tierces majeures Do♯-Fa, Fa♯-Si♭, Sol♯-Do et Si-Mi♭ sont des tierces plus petites qu'une tierce Pythagoriciennne de rapport 81/64 (jugée dissonante dans l'antiquité), très proches d'une tierce pure de rapport 5/4.
Do♯-Fa = Fa♯-Si♭= Sol♯-Do=Si-Mi♭ =8 quartes - 3 oct.= 213/385/4
La difference entre 213/38 et 5/4 est 32805/32768 ≈ 2 cents. En utilisant la marge de manoeuvre laissée par le choix de la quinte du loup, Henri Arnaut de Zwolle (1400-1466) a introduit une échelle Pythagoriciennne dans laquelle les tierces "consonantes" sont utilisables dans des tonalités plus usuelles. Dans cette échelle, la quinte du loup est placée en Sol♭-Si (succession de quintes Sol♭-Ré♭-...Mi-Si), les tierces Mi-La♭, La-Ré♭, Si-Mi♭ et Ré-Sol♭ sont quasiment pures :
NoteDoRé♭ Mi♭Mi Fa
Fraction1256/2439/832/2781/644/3
NoteSol♭SolLa♭LaSi♭Si
Fraction1024/7293/2128/8127/1616/9243/128
Tableau 6. Échelle de Pythagore à 12 degrés, selon Arnault de Zwolle. Les tierces de Si, Mi, La et Ré sont quasiment pures.

Genres d'Archytas et d'Aristoxène

Le mathématicien et philosophe grecque Archytas (435-347), pythagoricien et disciple de Philolaos, remarqua la forme particulièe des rapports associés aux consonances paffaites : octave (2/1), quinte (3/2) et quarte (4/3). La seconde 9/8 a également un rapport épimore ou superpartielle n+1/n. Archytas complète alors le tétracorde en introduisant une nouvelle tierce majeure, de rapport 5/4. Nous verrons dans la suite que, plusieurs siècles après, dans la musique occidentale de la renaissance, cette tierce sera introduite comme intervalle consonant dans la musique occidentale de la renaissance. L'inconvénient de ce nouveau rapport est d'introduire deux types de tons : Do-R&ecute; de rapport 9/8 (204 c) et un intervalle plus petit ré-Mi de rapport 10/9.
NoteDoMi Fa
Fraction19/85/44/3
Intervalle9/810/916/159/8
Tableau 7. Modification de la tétracorde Pythagoricienne par Archytas.
Aristoxènes de Tarente (335-280), philosophe et théoricien de la musique, disciple d'Aristote, auteur du "Traité d'harmonique", reprend l'innovation de d'Archytas, en complétant le tétracorde de Tab 6 par un tétracorde identique, transposé d'une quinte :
NoteDoMi Fa
Fraction19/85/44/3
NoteSolLaSiDo
Fraction3/227/1615/82
Tableau 8. Échelle d'Aristoxène, obtenue à partir du tétracorde d'Archytas.

Musique occidentale

La polyphonie de la Renaissance et l'accord parfait majeur

Comme nous l'avons vu, dans l'antiquité, les seules consonances étaient la quinte et l'octave. En particulier, la tierce majeure Pythagoriciennne de rapport 81/64 n'était pas considérée comme un intervalle consonant. Mais les

Harmoniques et consonance

Bien qu'actuellement, il existe une théorie psychoacoustique de la consonance et la dissonance, mais cette notion reste encore dans une large mesure conditionnée par l'environnement culturel. En effet le terme consonance peut avoir des significations différentes :
Consonnance mélodique
Dans la musique ancienne où les lignes mélodique étaient chantées à l'unisson, la consonance était une notion purement mélodique définie par la succession des notes.
Consonance polyphonique
Avec l'avènement de la polyphonie, consonance et dissonance commencent à s'utiliser dans le sens de deux (ou plusieurs) notes simultanées. Mais pour les théoriciens de la Renaissance, cette notion est liée à celle de plaisir auditif. Un intervalle plaisant est dit consonant et inversement. L'explication théorique avancée à cette époque est l'aptitude qu'ont deux sons à fusionner et former un troisième son. Selon les Pythagoriciens, cette aptitude s'explique par des rapports numériques simples (2/1, 3/2, 4/3, etc).
Consonance contrapunctique
Cette notion est relative au mouvement des voix et le contexte harmonique. Contrairement à la consonnance polyphonique, dans ce cas, un intervalle de quarte est considé comme dissonant (pour se résoudre sur une tierce). De même une tierce mineure est considérée comme consonante, alors qu'une seconde augmenté est dissonante, selon le contexte tonal et harmonique.
Consonance fonctionnelle
Le critère de consonance est relative à l'existence d'une tonique ou d'une fondamentale, par rapport à laquelle les deux sons sont des partiels.
Consonance psychoacoustique ou sensorielle
Cette notion a été introduite par Helmholtz. Elle est d'une part fondée sur l'existence de battements entre deux sons. Ces battements peuvent alors créer une sensation de rugosité. D'autre part, elle est déterminée par l'harmonicité des sons partiels. Selon cette acception, un son isolé a de fa¸le;on intrinsèque une quqlité de consonance ou dissonance. D'autre part, contrairement aux notions anciennces de consonance, la consonance psychoacoustique ne dépend pas uniquement du rapport entre les fréquences des deux sons, mais également des spectres des sons respectifs. Par ailleurs, cette notion de consonance-dissonance est une notion relative, appréciable et quantifiable sur une échelle continue.
En Europe, suite à l'essor de la musique polyphonique, la généralisation du tempérament égal vers le milieu de XVIIIe siècle, a mis un terme à ce domaine de recherche. Mais à l'époque contemporaine, la musique électronique et la redécouverte d'instruments anciens ont remis les recherches sur les tempéraments et les systèmes d'accord à l'ordre du jour. On redécouvre donc à nouveau les propriétés du tempérament juste, ou encore des tempéraments à tiers ou quarts de tons utilisés dans la musique contemporaine (Ives, Ohana, etc). En Orient, les musicologues et mathématiciens du Moyen-âge (comme Fârâbi, Avicenne, etc.), bien que critiques à l'égard de leurs aînés grecques, ont essayé de créer des systèmes décrivant la réalité de la pratique instrumentale de leur époque. Dans la plupart des cas d'ailleurs, ces musicologues étaient de grands musiciens (comme Mowseli, Fârâbi, Saffieddin Ormavi, Marâqi, etc). À l'image d'Aristoxène, ils pensaient que la justesse d'un intervalle devaient se juger à l'oreille. Ainsi, malgré l'héritage Pythagoricienne, ces théoriciens ont pu introduire dans leur système des intervalles, sans sentir le besoin de les justifier par un certain mathématiquement séduisant.

Par ailleurs, la musique orientale (du Moyen-Orient et l'Inde) étant restée, jusqu'à une période récente, essentiellement monophonique, le besoin d'un tempérament unique et standard ne se faisait pas tant ressentir dans la pratique. Chaque musicien pouvait choisir lui-même son tempérament avant son exécution, en se fiant à son oreille et selon son humeur du moment. Néanmoins, confrontés à la musique classique occidentale et le tempérament égal, les théoriciens ont essayé à nouveau de codifier/mesurer les intervalles des maqâms et des ragas. En particulier, en Iran, certains théoriciens ont opté pour un système à tempérament égal à 24 quarts de ton. D'autres chercheurs (comme Barkeshli) ont tenté de réhabiliter le tempérament de Safieddin Ormavi (XIIIe siècle), où tous les dégrés sont obtenus à partir de deux intervalles (le limma et le comma). Aucun de ces deux systèmes ne reflètent cependant les pratiques réelles des musiciens contemporains en Iran. Les mesures effectuées ne concordent avec aucun des systèmes simplifiés précédents. Même, certains maîtres jouant un mode sur des enregistrements différents, n'utiliseraient pas des intervalles identiques. Ainsi, certains théoriciens ont été conduits à penser que certains intervalles étaient flexibles (Farhat, During, Talai). Ainsi, le musicien choisit son tempérament pour chaque exécution. Évidemment, les tempéraments inégaux posent les problèmes de transpositions, inhérentes à certains dastgâhs (problème qu'on ne retrouvent pas dans la musique indienne puisqu'il n'y a pas de modulation).

Dans la musique iranienne actuelle, la nécessité d'un tempérament standard apparaît néanmoins dans les ensembles instrumentaux devenus incontournables dans la pratique musicale contemporaine (plusieurs instruments mélodiques jouant simultanément ou au moins un chanteur accompagné d'un instrument mélodique). Donc les musiciens doivent se mettre d'accord sur un tempérament collectif.

La musique orientale

Rédaction réservée.
© 2010 - Pirouz Djoharian
pirouz.djoharian@free.fr
Last modified: Mon Apr 9 10:38:47 2012 Visiteurs depuis 23/02/2011 :